Tengo dos cuentas de correo, una personal de la UEx y otra institucional. Entro bien en una usando mi navegador, pero al intentar entrar en la otra, me vuelve a aparecer la anterior.

No puede abrir las dos cuentas en el mismo navegador. Necesita abrir la primera cuenta con un navegador (ej: Firefox) y la otra con un navegador distinto (ej: Chrome). También puede abrir la segunda cuenta en una ventana privada o de incógnito del mismo navegador. Asegúrese que ha borrado los archivos temporales antes de entrar por primera vez en cada cuenta en su navegador correspondiente (Cómo eliminar el contenido de la carpeta Archivos temporales de Internet).